Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 108 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 108 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Длиной пути γ называется точная верхняя грань длин вписанных ломаных:
l(γ) = sup
λ
l(γ
λ
) .
Теорема 8.11. Длина гладкого пути γ : [a, b] → R
n
конечна и определена равенством
l(γ) =
b
Z
a
|γ
0
(t)|dt =
Z
[a,b]
|γ
0
|.
Доказательство. Обозначим координаты точки γ(t) через x
j
(t) , j = 1, . . . n. Для раз-
биения λ = {t
0
, t
1
, . . . t
k
}
|γ(t
i
) −γ(t
i−1
)| =
v
u
u
t
n
X
j=1
[x
j
(t
i
) − x
j
(t
i−1
)]
2
,
при этом по теореме Лагранжа находим
x
j
(t
i
) − x
j
(t
i−1
) = x
0
j
(t
ij
)(t
i
− t
i−1
) , t
ij
∈ (t
i−1
, t
i
) .
Тогда
l(γ
λ
) =
k
X
i=1
v
u
u
t
n
X
j=1
x
02
j
(t
ij
) · (t
i
− t
i−1
) .
Функция g(u
1
, . . . u
n
) =
q
P
n
j=1
x
02
j
(u
j
) непрерывна на компакте [a, b]
n
и, следовательно,
равномерно непрерывна, т.е. при произвольном ε > 0 найдется δ > 0 такое, что
|u
i
− t
i
| < δ (∀i = 1, . . . n) ⇒ |g(u
1
, . . . u
n
) − g(t
1
, . . . t
n
)| <
ε
2(b − a)
.

Страницы