Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 110 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Пусть (в согласии с определением эквивалентности путей) α = β ◦
ϕ, ϕ
0
> 0. По теореме о замене переменной в интеграле:
Z
[c,d]
f ◦ β · |β
0
| =
Z
ϕ
−1
([c,d])
f ◦ β ◦ ϕ · |β
0
◦ ϕ| ·|ϕ
0
| =
Z
[a,b]
f ◦ α · |α
0
|.
Последнее утверждение позволяет определить интеграл по гладкой кривой Γ.
Определение 8.13. Пусть Γ — гладкая кривая и γ : [a, b] → R
n
— некоторая ее пара-
метризация. Пусть f : Γ → R — непрерывная функция. Тогда
Z
Γ
f
Опр.
=
Z
[a,b]
f ◦ γ · |γ
0
|.
Этот интеграл называется криволинейным интегралом 1-го рода. Интеграл
R
[a,b]
f ◦γ ·|γ
0
|
называют также интегралом от функции f по пути γ и обозначают
R
γ
f. Величина
l(Γ) =
Z
Γ
1
называется длиной кривой Γ.
Заметим, что криволинейный интеграл 1-го рода не зависит от ориентации кривой Γ:
формула замены переменной в интеграле не чувствительна к знаку якобиана (т.е. к знаку
ϕ
0
в обозначениях доказательства теоремы 8.12) — теорема 8.12 остается в силе и для
путей противоположных.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 108
- 109
- 110
- 111
- 112
- …
- следующая ›
- последняя »
