Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 111 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
В координатной записи γ = (x
1
, . . . x
n
) и
Z
Γ
f =
b
Z
a
f(x
1
(t), . . . x
n
(t)) ·
q
x
02
1
(t) + . . . + x
02
n
(t) dt .
Заметим, далее, что произвольный гладкий путь эквивалентен некоторому гладкому
пути с единичной скоростью. Именно, пусть γ : [a, b] → гладкий путь. Положим
l(t) =
t
Z
a
|γ
0
(s)|ds .
Тогда l
0
(t) = |γ
0
(t)| > 0 и, следовательно, функция l : [a, b] → [0, L], где L — длина пути
γ, — обратима. Обратная функция t(l) — дифференцируема и
t
0
(l) =
1
l
0
(t)
> 0 (t = t(l)) .
Остается заметить, что путь σ = γ ◦ t : [0, L] → R
n
эквивалентен пути γ и
σ
0
(l) = γ
0
(t(l))t
0
(l) =
γ
0
(t)
|γ
0
(t)|
,
т.е. скорость пути σ равна (по модулю) единице: |σ
0
| = 1. Параметр l пути с единичной
скоростью называется естественным. Он имеет смысл длины соответствующей части
пути. Параметризация кривой Γ посредством пути σ с единичной скоростью (|σ
0
| = 1)
также называется естественной. Криволинейный интеграл 1-го рода при выборе есте-
ственной параметризации принимает вид
Z
Γ
f =
Z
[0,L]
f ◦ σ =
L
Z
0
f(σ(l)) dl ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
