Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 113 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определение 8.14. Интеграл
Z
Γ
hf|τi =
b
Z
a
hf(γ(t))|ξ(t)i|γ
0
(t)|dt
называется криволинейным интегралом 2-го рода.
Как видно из определения, этот интеграл зависит от ориентации кривой (но, ра-
зумеется, не зависит от параметризации ориентированной кривой): при выборе другой
ориентации он меняет знак.
Ввиду γ
0
= |γ
0
|ξ, приходим к равенству
Z
Γ
hf|τi =
b
Z
a
hf(γ(t))|γ
0
(t)idt .
Оно позволяет дать следующую физическую интерпретацию криволинейного интеграла
2-го рода. Пусть в каждой точке кривой Γ действует сила F. Работа этой силы по пере-
мещению частицы из точки P
i−1
= γ(t
i−1
) в точку P
i
= γ(t
i
) может быть приближенно
оценена как скалярное произведение
∆A ≈ hF(P
i
)|
−−−−→
P
i−1
P
i
i = hF(γ(t
i
))|γ(t
i
) −γ(t
i−1
)i ≈ hF(γ(t
i
))|γ
0
(t
i
)i∆t
i
.
Полная работа силы F по перемещению частицы из начала в конец кривой Γ может быть
определена как предел сумм Римана
P
hF(γ(t
i
))|γ
0
(t
i
)i∆t
i
, т.е. как интеграл
A =
b
Z
a
hF(γ(t))|γ
0
(t)idt =
Z
Γ
hF|τi.
Перейдем к координатной записи векторов f и γ:
f = (f
1
, . . . f
n
) , γ = (x
1
, . . . x
n
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 111
- 112
- 113
- 114
- 115
- …
- следующая ›
- последняя »
