Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 119 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
9. Формула Грина
9.1. Обсуждение
Мы сделаем сейчас следующий шаг в обобщении формулы Ньютона–Лейбница и на-
пишем двумерный вариант формулы Стокса — формулу Грина. Эта формула связывает
дифференциальную 1-форму ω в R
2
и ее дифференциал:
Z
D
dω =
Z
∂D
ω . (9.1)
В этой формуле D — достаточно «хорошая» область на плоскости R
2
, чья граница ∂D
состоит из кусочно гладких кривых, ориентированных положительно.
Разумеется, здесь многое требует объяснений. Что такое дифференциал 1-формы?
Как понимается интеграл от него? Что такое хорошая область? Что такое положительная
ориентация границы области? Как понимается интеграл от 1-формы по границе?
Начнем с последнего вопроса, поскольку ответ на него почти готов. Как уже отмеча-
лось ранее, интеграл по кусочно гладкому пути определяется по аддитивности.
Определение 9.1. Кусочно гладкой кривой Γ называется образ простого кусочно глад-
кого пути γ, при этом сам путь γ называется параметризацией кривой Γ. Говорят, что
две параметризации кривой Γ определяют одну и ту же ориентацию на кривой Γ, если
единичные касательные векторы, ассоциированные с этими параметризациями, совпада-
ют всюду, где они определены. Ориентированная кусочно гладкая кривая Γ — это класс
всех параметризаций кривой, определяющих одну и ту же ориентацию на Γ.
Заметим, что как и в гладком случае, если кривая не замкнутая, ее ориентация опре-
деляется заданием начальной и конечной точки. В случае замкнутой кривой (а именно
этот случай важен в дальнейшем) ориентация задается направлением касательного век-
тора, который может быть не определен лишь в конечном числе точек — точек стыковки
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 117
- 118
- 119
- 120
- 121
- …
- следующая ›
- последняя »
