Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 121 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 121 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
При этом все базисы на плоскости R
2
разделяются на два класса. В один класс входят те
базисы (e
1
, e
2
), для которых det(e
1
, e
2
) = e
1
∧e
2
> 0, в другой — det(e
1
, e
2
) = e
1
∧e
2
< 0.
Эти два класса базисов называются ориентациями на плоскости. Таким образом, ори-
ентацию на плоскости задает выбор базиса (e
1
, e
2
). Говорят, что плоскость право ори-
ентирована, если e
1
∧ e
2
> 0 и лево ориентирована, если e
1
∧ e
2
< 0. Вместе с тем,
можно сказать, что ориентацию плоскости задает функция det (или любая другая нену-
левая форма объема на плоскости). Именно выбор такой функции позволяет относить
базисы к одной или другой ориентации. Это замечание становится особенно существен-
ным, если рассматривается двумерное пространство общего вида (не R
2
), на котором нет
выделенного базиса.
Определение 9.3. Граница ∂D называется положительно или согласованно ориентиро-
ванной, если ее ориентация определяется единичным касательным вектором τ таким, что
базис (τ, n), где n — вектор внутренней нормали к ∂D, является право ориентированным.
Определенности ради отметим, что вектор внутренней нормали n в точке P ∈ ∂D
обладает тем свойством, что при всех достаточно малых положительных значениях ε
точки P + εn лежат в области D.
Положительная ориентация границы может быть охарактеризована и при помощи
вектора внешней нормали N = −n. Единичный касательный вектор τ будет определять
согласованную ориентацию, если базис (N, τ) является право ориентированным. Это вы-
текает из свойств определителя:
τ ∧ n = −n ∧ τ = N ∧τ .
В соответствии с теоремой Жордана
10
о плоской замкнутой кривой, каждая непрерыв-
ная замкнутая кривая в R
2
разделяет плоскость на две связные открытые компоненты
— внутреннюю и внешнюю. Из этой теоремы вытекает, что среди кривых Γ
i
, которые
составляют границу ∂D (т.е. ∂D =
S
Γ
i
) есть одна, внутренняя компонента которой со-
держит все остальные кривые Γ
i
. Она будет называться внешней границей, остальные
кривые — внутренними.
10
теорема Жордана является трудной топологической теоремой и принимается нами без доказательства

Страницы