Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 123 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 123 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Следствием этих свойств, как мы уже знаем, будет равенство
ω
1
∧ ω
2
= −ω
2
∧ ω
1
.
Свойства полилинейности и антикоммутативности позволяют ограничиться определением
внешнего произведения лишь на базисных формах dx
1
и dx
2
. Последние мы будем считать
дуальными к векторам e
1
и e
2
ортонормированного базиса на плоскости. Поскольку на
плоскости любая билинейная антисимметричная форма пропорциональна определителю
векторов det, положим по определению
dx
1
∧ dx
2
= det ,
откуда, в частности,
dx
1
∧ dx
2
(e
1
, e
2
) = e
1
∧ e
2
= 1, ,
и более общо,
dx
1
∧ dx
2
(v
1
, v
2
) = v
1
∧ v
2
= det(v
1
, v
2
) =
v
11
v
12
v
21
v
22
= det(dx
i
(v
j
)) ,
где последний определитель следует понимать как определитель матрицы с элементами
v
ij
= dx
i
(v
j
). Как следствие, если ω
1
и ω
2
— произвольные дифференциальные 1-формы
на плоскости, то
ω
1
∧ ω
2
(v
1
, v
2
) = det(ω
i
(v
j
)) .
Для доказательства этой формулы заметим, что обе части равенства являются линейны-
ми по ω
1
и ω
2
и антисимметричными, а следовательно, достаточно установить равенство
на базисных формах, что и было сделано выше.
Наряду с операцией внешнего произведения 1-форм полезно ввести в некотором роде
обратную операцию. Она называется внутренним произведением 2-формы ω на вектор a:
(ω, a) 7→ ayω .

Страницы