Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 125 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 125 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где N
1
, N
2
— координаты вектора внешней нормали N. Это и есть дуальная форма к
вектору τ
T
1
dx
1
+ T
2
dx
2
,
где T
1
, T
2
— координаты единичного касательного вектора τ (T
1
= −N
2
, T
2
= N
1
).
Теперь мы готовы дать определение дифференциала 1-формы ω = f
1
dx
1
+ f
2
dx
2
:
dω
Опр.
= df
1
∧ dx
1
+ df
2
∧ dx
2
(предполагается, что функции f
1
, f
2
имеют непрерывные производные). Это определение
легко привести к координатному виду:
dω =
∂f
1
∂x
1
dx
1
+
∂f
1
∂x
2
dx
2
∧ dx
1
+
∂f
2
∂x
1
dx
1
+
∂f
2
∂x
2
dx
2
∧ dx
2
=
∂f
1
∂x
2
dx
2
∧ dx
1
+
∂f
2
∂x
1
dx
1
∧ dx
2
=
∂f
2
∂x
1
−
∂f
1
∂x
2
dx
1
∧ dx
2
.
Из этого представления и равенства
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
=
∂
2
f
∂x
2
∂x
1
(производные предполагаются непрерывными) вытекает, что
d(df) = 0 .
Действительно,
d(df) = d
∂f
∂x
1
dx
1
+
∂f
∂x
2
dx
2
=
∂
2
f
∂x
1
∂x
2
−
∂
2
f
∂x
2
∂x
1
dx
1
∧ dx
2
= 0 .
Это свойство и свойства дифференциала функции позволяют заключить, что определение
дифференциала 1-формы не зависит от выбора системы координат. Действительно, если

Страницы