Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 124 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Внутреннее произведение ayω является, по определению, 1-формой такой, что
ayω(v) = ω(a, v) .
Иначе говоря, если в 2-форме ω зафиксировать первую переменную, то получим 1-форму.
Вычислим внутреннее произведение формы ω
1
∧ ω
2
, где ω
1
, ω
2
— 1-формы, на вектор a:
ω
1
∧ ω
2
(a, v) =
ω
1
(a) ω
1
(v)
ω
2
(a) ω
2
(v)
= ω
1
(a)ω
2
(v) − ω
2
(a)ω
1
(v) ,
откуда
ayω
1
∧ ω
2
= ω
1
(a)ω
2
− ω
2
(a)ω
1
.
Данные структуры позволяют описать согласование ориентаций области D и ее границы
∂D в следующем виде. Во-первых, заметим, что ориентация может быть описана как вы-
бор соответствующей дифференциальной формы. Действительно, именно задание формы
dx
1
∧dx
2
(определитель) позволяет отделять базисы одной ориентации (правой) от бази-
сов другой (левой). Поскольку это отделение зависит лишь от знака значения, мы можем
вместо формы dx
1
∧dx
2
использовать и любую другую, если коэффициент пропорциональ-
ности между формами объема — положителен. Наоборот, форма dx
2
∧dx
1
будет задавать
противоположную ориентацию. Аналогично и для граничной кривой ∂D, выбор ориента-
ции, т.е. касательного вектора τ можно осуществлять дуальной к τ дифференциальной
формой или любой другой 1-формой, значения которой на векторе τ положительны. Ду-
альную форму к вектору τ, задающему положительную ориентацию легко описать. Это
форма
Nydx
1
∧ dx
2
,
где N — вектор внешней нормали. Действительно,
Nydx
1
∧ dx
2
(τ) = dx
1
∧ dx
2
(N, τ) = N ∧τ = 1 .
Таким образом, 1-форма, определяющая согласованную ориентацию к ориентации dx
1
∧
dx
2
, равна
dx
1
(N)dx
2
− dx
2
(N)dx
1
= N
1
dx
2
− N
2
dx
1
,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 122
- 123
- 124
- 125
- 126
- …
- следующая ›
- последняя »
