Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 127 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Рассмотрим, сначала, случай 0-формы, т.е. функции f : R
2
y
→ R. Ее прообраз опре-
деляется как суперпозиция:
θ
∗
f = f ◦ θ , θ
∗
f : R
2
x
→ R .
Пусть теперь ω является дифференциальной 1-формой на пространстве R
2
y
. Она имеет
вид
ω = f
1
dy
1
+ f
2
dy
2
,
где f
1
, f
2
— непрерывные функции R
2
y
→ R. Прообразом формы ω при отображении θ
называется форма на R
2
x
θ
∗
ω = θ
∗
f
1
· θ
∗
dy
1
+ θ
∗
f
2
· θ
∗
dy
2
,
где
θ
∗
dy
j
Опр.
= d(θ
∗
y
j
) = d(y
j
◦ θ) =
∂y
j
∂x
1
dx
1
+
∂y
j
∂x
2
dx
2
.
Подчеркнем отличие здесь между dy
j
и d(y
j
◦ θ). В первом случае это дифференциал
независимой переменной y
j
, во втором — это дифференциал функции y
j
(x
1
, x
2
). Таким
образом, смысл отображения θ
∗
элементарен: это замена переменных в записи диффе-
ренциальной формы — всюду переменные y
j
надо заменить на функции y
j
(x
1
, x
2
).
Это правило сохраняется и для 2-форм. Если ω — дифференциальная 2-форма на R
2
y
,
т.е. ω = fdy
1
∧ y
2
, то
θ
∗
ω
Опр.
= θ
∗
f · θ
∗
dy
1
∧ θ
∗
dy
2
.
Из определения легко вытекают следующие свойства отображения θ
∗
:
1. Если ω
1
и ω
2
— 1-формы на R
2
y
, то θ
∗
(ω
1
∧ ω
2
) = θ
∗
ω
1
∧ θ
∗
ω
2
.
2. Если ω — 1-форма на R
2
, то θ
∗
dω = dθ
∗
ω .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 125
- 126
- 127
- 128
- 129
- …
- следующая ›
- последняя »
