Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 129 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Мы заканчиваем обсуждение формулы Грина определением интеграла от дифферен-
циальной формы по ориентированной области. Если ω = fdx
1
∧ dx
2
и область D ориен-
тирована заданием формы dx
1
∧ dx
2
, то
Z
D
ω
Опр.
=
Z
D
f .
Здесь справа стоит обычный двукратный интеграл от функции f. Таким образом, в случае
правой ориентации
Z
D
f(x
1
, x
2
)dx
1
∧ dx
2
=
Z
D
f(x
1
, x
2
)dx
1
dx
2
.
При изменении ориентации интеграл от формы изменит знак.
Таким образом, формула Грина принимает вид
Z
D
∂f
2
∂x
1
−
∂f
1
∂x
2
dx
1
dx
2
=
Z
∂D
f
1
dx
1
+ f
2
dx
2
или (в стандартных обозначениях)
Z
∂D
P (x, y)dx + Q(x, y)dy =
Z
D
∂Q
∂x
−
∂P
∂y
dxdy .
Для доказательства формулы Грина нам понадобится следующие варианты формул
замены переменных в криволинейном и кратном интегралах. Пусть Γ — ориентированная
гладкая кривая с параметризацией γ : [a, b] → R
2
и θ : R
2
→ R
2
— непрерывно
дифференцируемое отображение. Тогда θ(Γ) — тоже гладкая кривая с параметризацией
θ ◦ γ (чем задается ее ориентация). В случае 1-формы ω = f
1
dx
1
+ f
2
dx
2
находим
Z
Γ
θ
∗
ω =
b
Z
a
(θ
∗
ω)
γ(t)
(γ
0
(t)) dt =
b
Z
a
ω
θ(γ(t))
(θ
0
γ(t)
(γ
0
(t))) dt =
Z
[a,b]
ω
θ◦γ
((θ ◦ γ)
0
) =
Z
θ(Γ)
ω .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 127
- 128
- 129
- 130
- 131
- …
- следующая ›
- последняя »
