Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 128 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство первого из свойств из соображений симметрии (точнее — антисиммет-
рии) и билинейности достаточно провести для случая ω
1
= fdy
1
и ω
2
= dy
2
. Но это
в точности соответствует определению. Второе свойство в точности означает незави-
симость определения дифференциала 1-формы от системы координат и было проверено
выше.
Получим формулы для (θ
∗
ω)
x
(v) в случае 1-формы ω и (θ
∗
ω)
x
(v, w) в случае 2-формы.
(θ
∗
dy
i
)
x
(v) =
∂y
i
(x)
∂x
1
dx
1
+
∂y
i
(x)
∂x
2
dx
2
(v) =
∂y
i
(x)
∂x
1
dx
1
(v) +
∂y
i
(x)
∂x
2
dx
2
(v)
=
∂y
i
(x)
∂x
1
v
1
+
∂y
i
(x)
∂x
2
v
2
= (θ
0
x
(v))
i
= dy
i
(θ
0
x
(v)) ,
откуда в случае 1-формы ω = f
1
dy
1
+ f
2
dy
2
находим
(θ
∗
f
1
· θ
∗
dy
1
+ θ
∗
f
2
· θ
∗
dy
2
)
x
(v) = f
1
(θ(x))dy
1
(θ
0
x
(v)) + f
2
(θ(x))dy
2
(θ
0
x
(v)) ,
т.е.
(θ
∗
ω)
x
(v) = ω
θ(x)
(θ
0
x
(v)) .
Подчеркнем, что θ
0
x
(v) есть результат умножения матрицы Якоби θ
0
в точке x на вектор v.
Далее,
θ
∗
dy
1
∧ θ
∗
dy
2
=
∂y
1
∂x
1
dx
1
+
∂y
1
∂x
2
dx
2
∧
∂y
2
∂x
1
dx
1
+
∂y
2
∂x
2
dx
2
=
∂y
1
∂x
1
·
∂y
2
∂x
2
−
∂y
1
∂x
2
·
∂y
2
∂x
1
dx
1
∧ dx
2
=
∂(y
1
, y
2
)
∂(x
1
, x
2
)
dx
1
∧ dx
2
= det θ
0
· dx
1
∧ dx
2
.
Отсюда в случае 2-формы ω = fdy
1
∧ dy
2
θ
∗
ω = f ◦ θ · det θ
0
· dx
1
∧ dx
2
и
(θ
∗
ω)
x
(v, w) = f(θ(x)) · det θ
0
(x) · dx
1
∧ dx
2
(v, w) = f(θ(x)) · det θ
0
(x) · v ∧ w .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 126
- 127
- 128
- 129
- 130
- …
- следующая ›
- последняя »
