Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 174 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 174 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
12. Понятие о точных и замкнутых формах
12.1. Теорема Пуанкаре
Дифференциальная k-форма ω называется замкнутой, если dω = 0. Она называется
точной, если существует дифференциальная (k − 1)-форма α такая, что ω = dα. Форма
α называется первообразной формой для формы ω.
Как было показано ранее, точная форма всегда замкнута (лемма Пуанкаре).
Теорема 12.1 (Пуанкаре). Замкнутая форма на звездной области является точной.
Доказательство. Будем считать, что область является звездной относительно начала
координат. Для произвольной k-формы
ω =
X
i
1
<...<i
k
f
i
1
...i
k
dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
определим (k − 1)-форму Jω, полагая
Jω
x
=
X
i
1
<...<i
k
1
Z
0
t
k−1
f
i
1
...i
k
(tx) dt
k
X
j=1
(−1)
j−1
x
i
j
dx
i
1
∧ . . .
[
dx
i
j
. . . ∧dx
i
k
.
Тогда, если dω = 0,
J(dω)
x
= J
X
i
1
<...<i
k
n
X
i=1
∂f
i
1
...i
k
(x)
∂x
i
dx
i
∧ dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
=
X
i
1
<...<i
k
n
X
i=1
1
Z
0
t
k
∂f
i
1
...i
k
(tx)
∂x
i
dt
x
i
∧ dx
i
1
∧ . . . ∧ dx
i
k
− dx
i
∧
n
X
j=1
(−1)
j−1
x
i
j
dx
i
1
∧ . . .
[
dx
i
j
. . . ∧dx
i
k
= 0 ,

Страницы