Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 18 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
откуда
Z
D
f 6
Z
D
g .
Как следствие, отметим свойство ограниченности интеграла, выраженное неравен-
ством:
m
D
(f)V (D) 6
Z
D
f 6 M
D
(f)V (D) , (1.5)
где f — произвольная функция, интегрируемая на брусе D.
Докажем также следующее свойство.
Теорема 1.12. Если f — интегрируема на брусе D, то |f| — также интегрируема,
причем
Z
D
f
6
Z
D
|f|.
Доказательство.
M
A
(|f|) − m
A
(|f|) = sup
x∈A
|f(x)| − inf
y∈A
|f(y)| = sup
x∈A
|f(x)| + sup
y∈A
(−|f(y)|)
= sup
x,y∈A
(|f(x)| − |f(y)|) = sup
x,y∈A
||f(x)| − |f(y)|| 6 sup
x,y∈A
|f(x) − f(y)| = sup
x,y∈A
(f(x) − f(y))
= sup
x∈A
f(x) + sup
y∈A
(−f(y)) = sup
x∈A
f(x) − inf
y∈A
f(y) = M
A
(f) − m
A
(f) ,
откуда
σ
∗
(|f|, λ) − σ
∗
(|f|, λ) 6 σ
∗
(f, λ) − σ
∗
(f, λ)
и, как следствие,
I
∗
(|f|, D) − I
∗
(|f|, D) 6 I
(
f, D) − I
∗
(f, D) ,

Страницы