Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 19 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
что влечет за собой интегрируемость |f| при условии, что f — интегрируема.
Оценка интеграла по абсолютной величине вытекает из монотонности интеграла:
Z
D
f 6
Z
D
|f| и −
Z
D
f =
Z
D
(−f) 6
Z
D
|f|.
Наконец, отметим следующее свойство интегрируемости.
Теорема 1.13. Если f и g — интегрируемы на брусе D, то произведение fg — также
интегрируемая функция.
Доказательство. Прежде всего, докажем, что квадрат интегрируемой функции — также
интегрируемая функция. Действительно, полагая M = M
D
(|f|), находим
M
A
(f
2
) −m
A
(f
2
) = sup
x∈A
f
2
(x) − inf
y∈A
f
2
(y) = sup
x∈A
f
2
(x) + sup
y∈A
(−f
2
(y))
= sup
x,y∈A
(f
2
(x) −f
2
(y)) = sup
x,y∈A
|f
2
(x) −f
2
(y)| = sup
x,y∈A
(|f(x) + f(y)||f(x) − f(y)|)
6 2M sup
x,y∈A
(f(x) − f(y)) = 2M [sup
x∈A
f(x) + sup
y∈A
(−f(y))]
= 2M[sup
x∈A
f(x) − inf
y∈A
f(y)] = 2M [M
A
(f) − m
A
(f)] ,
откуда
σ
∗
(f
2
, λ) − σ
∗
(f
2
, λ) 6 2M[σ
∗
(f, λ) − σ
∗
(f, λ)]
и, как следствие,
I
∗
(|f|, D) − I
∗
(|f|, D) 6 2M [I
∗
(f, D) − I
∗
(f, D)] ,
что влечет интегрируемость f
2
при условии, что f — интегрируема.

Страницы