Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 16 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
откуда
m
A
(f) + m
A
(g) 6 m
A
(f + g) 6 M
A
(f + g) 6 M
A
(f) + M
A
(g) .
Умножая на V (A) и суммируя по всем ячейкам разбиения, приходим к неравенствам
σ
∗
(f, λ) + σ
∗
(g, λ) 6 σ
∗
(f + g, λ) 6 σ
∗
(f + g, λ) 6 σ
∗
(f, λ) + σ
∗
(g, λ) .
Далее, как следствие,
σ
∗
(f, λ) + σ
∗
(g, λ) 6 I
∗
(f + g, D) 6 I
∗
(f + g, D) 6 σ
∗
(f, λ) + σ
∗
(g, λ) .
Отсюда (в силу интегрируемости f и g)
Z
D
f+
Z
D
g = I
∗
(f, D)+I
∗
(g, D) 6 I
∗
(f+g, D) 6 I
∗
(f+g, D) 6 I
∗
(f, D)+I
∗
(g, D) =
Z
D
f+
Z
D
g ,
что доказывает равенства
I
∗
(f + g, D) = I
∗
(f + g, D) =
Z
D
f +
Z
D
g
и, как следствие, равенство
Z
D
(f + g) =
Z
D
f +
Z
D
g .
Докажем теперь однородность интеграла (возможность вынесения постоянного мно-
жителя за знак интеграла). Если α > 0, то
m
A
(αf) = αm
A
(f) и M
A
(αf) = αM
A
(f) ,
откуда немедленно (при α > 0)
I
∗
(αf, D) = αI
∗
(f, D) и I
∗
(αf, D) = αI
∗
(f, D) ,

Страницы