Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 14 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 14 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теорема 1.9 (Критерий интегрируемости).
f — интегрируема ⇐⇒ ∀ε > 0 ∃λ : σ
∗
(f, λ) −σ
∗
(f, λ) < ε .
Доказательство. ⇒
∃µ :
Z
D
f −σ
∗
(f, µ) <
ε
2
и
∃ν : σ
∗
(f, ν) −
Z
D
f <
ε
2
.
Если λ продолжает разбиения µ и ν, то тем более
σ
∗
(f, λ) −
Z
D
f <
ε
2
и
Z
D
f −σ
∗
(f, λ) <
ε
2
,
что ведет к оценке σ
∗
(f, λ) − σ
∗
(f, λ) < ε.
⇐
∀ε > 0 : I
∗
(f, D) − I
∗
(f, D) < ε ,
т.е. есть равенство верхнего и нижнего интегралов.
В качестве простого примера рассмотрим функцию f, принимающую постоянное зна-
чение на брусе D: f(P ) ≡ c = Const. Тогда
σ
∗
(f, λ) = σ
∗
(f, λ) =
X
по A из λ
cV (A) = c
X
по A из λ
V (A) = cV (D) ,
откуда
Z
D
f = cV (D) .

Страницы