Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 207 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
14.2. Теорема Стокса для клетки
Теорема 14.2. Пусть G — k-мерная клетка в R
n
и ω — k-форма, определенная в
окрестности G. Тогда при согласованной ориентации G и ∂G
Z
G
dω =
Z
∂G
ω .
Доказательство. Прежде всего подчеркнем, что граница клетки не является границей
множества точек клетки. Если клетка G имеет параметризацию θ : J
k
→ R
n
, G =
θ(J
k
), то по определению границу клетки G образует множество θ(∂J
k
). Разумеется,
это понятие не зависит от выбора параметризации клетки: если ϕ : J
k
→ R
n
— еще
одна параметризация, то непрерывно дифференцируемое отображение T = θ
−1
◦ ϕ вза-
имно однозначно отображает куб J
k
на весь куб J
k
, но при таком отображении каждая
внутренняя точка куба переходит во внутреннюю точку и тогда каждая граничная точка
(уже в топологическом смысле) переходит в граничную, откуда и вытекает корректность
определения границы клетки.
Ориентация клетки и ее границы (граней) определяется ориентацией куба в ло-
кальных координатах. Независимо от параметризации согласованность ориентаций клет-
ки и ее границы можно описать следующим образом. Базис касательных векторов
к грани клетки τ
1
, . . . τ
k−1
определяет правильную ориентацию клетки, если векторы
n, τ
1
, . . . τ
k−1
, где n — вектор внутренней нормали к границе клетки, определяет проти-
воположную ориентацию по отношению к ориентации клетки. Отметим, что именно это
правило диктует выбор не внешней, а внутренней нормали: внешних нормалей (ортого-
нальных между собой) к границе клетки может быть много, в то время как внутренняя
нормаль определяется однозначно.
Доказательство собственно формулы элементарно:
Z
G
dω =
Z
J
k
θ
∗
(dω) =
Z
J
k
d(θ
∗
ω) =
Z
∂J
k
θ
∗
ω =
Z
∂G
ω ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 205
- 206
- 207
- 208
- 209
- …
- следующая ›
- последняя »
