Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 206 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 206 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
и, следовательно, по теореме Фубини
Z
J
k
dω =
Z
J
k−1
k
X
i=1
(−1)
i+1
1
Z
0
∂f
i
∂u
i
du
i
du
1
∧ . . .
c
du
i
. . . ∧du
k
=
Z
J
k−1
k
X
i=1
(−1)
i+1
[f
i
|
u
i
=1
− f
i
|
u
i
=0
] du
1
∧ . . .
c
du
i
. . . ∧du
k
=
k
X
i=1
X
l=0,1
(−1)
i+l
Z
J
k−1
f
i
|
u
i
=l
du
1
∧ . . .
c
du
i
. . . ∧du
k
.
Последняя сумма по i и l является суммой интегралов от формы ω по всем граням куба
J
k
, т.е. по границе куба J
k
. Знак перед интегралами определяет правильную (согласован-
ную) ориентацию граней куба. Противоположные грани куба имеют противоположную
ориентацию. В целом согласованную ориентацию граней можно описать следующим об-
разом. Базис векторов τ
1
, . . . τ
k−1
, лежащих в данной грани куба, определяет правильную
ориентацию этой грани, если векторы N, τ
1
, . . . τ
k−1
, где N — вектор внешней нормали к
данной грани, определяют ориентацию пространства R
k
. Действительно, если e
1
, . . . e
k
—
стандартный базис R
k
, то при i = 1 согласованную ориентацию грани u
1
= 1 определяют
векторы e
2
, . . . e
k
(т.е. форма du
2
∧ . . . du
k
), а вектор внешней нормали совпадает с век-
тором e
1
. Для остальных граней утверждение вытекает из свойства антисимметричности
форм.
Можно также сказать, что если форма объема Ω задает ориентацию куба J
k
, то
правильную ориентацию ∂J
k
задает форма NyΩ.
В дальнейшем согласованную ориентацию нам будет удобнее описывать при помощи
не внешней нормали, а внутренней. Если n — вектор внутренней нормали к грани куба
J
k
, то базис векторов τ
1
, . . . τ
k−1
, лежащих в данной грани, определяет согласованную
ориентацию этой грани, если векторы n, τ
1
, . . . τ
k−1
задают противоположную ориентацию
по отношению к ориентации пространства R
k
.

Страницы