Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 210 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Определение 14.5. Множество M ⊂ R
n
называется гладким многообразием в R
n
раз-
мерности k, если существует атлас A размерности k, объединение образов всех карт
которого совпадает с M:
M =
[
ϕ
α
∈A
ϕ
α
(U
α
) .
Многообразие M называется подмногообразием в R
n
, если
∀α : ϕ
α
(U
α
) = M ∩ V
α
,
где V
α
— открыто в R
n
.
16
Последнее условие исключает некоторые патологические случаи многообразий, когда
две разные точки многообразия не имеют непересекающихся окрестностей (случай так
называемых неотделимых или нехаусдорфовых многообразий), см. рис. 31. Мы не будем
вдаваться в подробное обсуждение этих понятий, ограничившись лишь определениями и
апеллируя к геометрической интуиции читателя. Нашей целью является теорема Стокса,
которая будет доказана нами для случая тех многообразий, для которых какая–либо
патология заведомо исключается.
Если ϕ — карта U → R
n
, то выбор базиса на U определяет ориентацию этой карты
и ее образа ϕ(U). Координаты на U называются локальными координатами на образе
карты ϕ(U). Если образы карт ϕ : U → R
n
и ψ : V → R
n
пересекаются, то на множестве
ψ
−1
(ϕ(U) ∩ ψ(V )) определено взаимно однозначное и непрерывно дифференцируемое
отображение
T : ψ
−1
(ϕ(U) ∩ ψ(V )) → ϕ
−1
(ϕ(U) ∩ ψ(V ))
такое, что ϕ = ψ ◦ T . Это отображение осуществляет замену локальных координат для
области пересечения карт. Если det T
0
> 0, то карты ϕ и ψ называются ориентированными
16
достаточно требовать, чтобы любая точка многообразия M обладала окрестностью в R
n
, пересечение
которой с многообразием содержалось в образе какой-либо карты: ∀P ∈ M ∃V (открытое в R
n
) и α : M ∩
V ⊂ ϕ
α
(U
α
)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 208
- 209
- 210
- 211
- 212
- …
- следующая ›
- последняя »
