Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 215 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 215 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Если B — (k − 1)-мерная грань клетки A разбиения, то либо она принадлежит лишь
этой одной клетке (данного разбиения), либо она является общей гранью двух клеток
(A и
e
A). В первом случае грань называется внешней гранью, во втором — внутренней.
Объединение всех внешних граней составляет край ∂M многообразия M. Если много-
образие ориентировано, то внутренняя грань будет иметь разные ориентации, согласо-
ванные с ориентациями содержащих ее клеток. Ориентация внешних клеток индуцирует
ориентацию всего края ∂M, согласованную с ориентацией многообразия M, при этом со-
гласованная ориентация края не зависит от разбиения, поскольку она может быть опреде-
лена инвариантным образом выбором базиса касательных векторов к краю: касательный
репер τ
1
, . . . τ
k−1
задает согласованную ориентацию края, если репер n, τ
1
, . . . τ
k−1
, где
n — вектор внутренней нормали к ∂M, определяет ориентацию M, противоположную
исходной.
Как и в двумерном случае мы теперь легко можем доказать теорему:
Теорема 14.9 (Стокса). Пусть ω — дифференциальная форма на связном ориентиро-
ванном многообразии M с краем, допускающим клеточное разбиение. Тогда
Z
M
dω =
Z
∂M
ω
при условии, что край ∂M ориентирован согласованно.
Доказательство. В силу аддитивности интеграла, теоремы Стокса для клетки и сокра-
щения поверхностных интегралов по внутренним граням находим
Z
M
dω =
l
X
i=1
Z
A
i
dω =
l
X
i=1
Z
∂A
i
ω =
Z
∂M
ω .

Страницы