Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 216 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 216 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
14.4. Классические теоремы
14.4.1. Формула Остроградского–Гаусса
Пусть F : R
n
→ R
n
— гладкое векторное поле, определенное на замкнутой области
D ⊂ R
n
. Тогда поток поля F через границу области ∂D равен интегралу от дивергенции
поля, взятому по области D:
Z
D
div F =
Z
∂D
hF|NidS , (14.1)
где N — вектор внешней нормали к ∂D.
Для доказательства достаточно выписать формулу Стокса для формы ω = FyΩ, где
Ω = dx
1
∧ . . . ∧ dx
n
, при этом dω = div F · Ω. По теореме Стокса и формуле (13.6)
Z
D
div F =
Z
D
dω =
Z
∂D
ω =
Z
∂D
FyΩ =
Z
∂D
hF|NidS .
Сделаем пояснения по поводу согласования ориентаций D и ∂D. В случае многообразий
в R
n
размерности n при описании согласованной ориентации можно воспользоваться век-
тором внешней нормали N вместо вектора внутренней нормали n. При этом касательные
векторы τ
1
, . . . τ
n−1
к границе ∂D определяют согласованную ориентацию, если векторы
N, τ
1
. . . τ
n−1
задают ориентацию пространства R
n
. Данное правило часто интерпретиру-
ют как выбор внешней стороны поверхности ∂D при согласовании ориентаций.
Дивергенция непрерывно дифференцируемого поля F является плотностью аддитив-
ной функции Φ(D) =
R
D
div F. Из формулы Остроградского–Гаусса и определения плот-
ности вытекает следующая формула для дивергенции непрерывно дифференцируемого
векторного поля:
div F(x) = lim
D→x
R
∂D
hF|NidS
V (D)
, (14.2)

Страницы