Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 230 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 230 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. ⇒
Пусть P
n
∈ A, P
n
→ P, но P /∈ A. Тогда P лежит в открытом дополнении к A
и, следовательно, ∃B
r
(P ) ⊂ R
n
r A. В шаре B
r
(P ) нет точек из A, что противоречит
условию P
n
∈ A, P
n
→ P .
⇐
Пусть P ∈ R
n
rA. Тогда существует окрестность (шар) B
r
(P ), в которой нет точек из
A (иначе точка P была бы предельной для множества A и, следовательно, принадлежала
бы A). Как следствие, R
n
r A — открыто.
Пусть A — произвольное множество в R
n
. Для точек из R
n
имеется три возможности:
1. ∃B
r
(P ) ⊂ A.
2. ∃B
r
(P ) ⊂ R
n
r A
3. ∀B
r
(P ) ∃Q ∈ A ∩B
r
(P ) и ∃R ∈ (R
n
r A) ∩ B
r
(P ).
Точки первого типа называются внутренними точками множества A и составляют от-
крытое множество IntA =
◦
A ⊂ A, называемое внутренностью множества A. Точки
второго типа — внутренние точки дополнения к A — составляют внешность A. Точки
третьего типа называются граничными и составляют границу ∂A множества A. В силу
∂A = R
n
r [
◦
A ∪ Int(R
n
r A)] ,
граница множества — замкнута. Объединение множества A с его границей называют
замыканием множества A:
A = A ∪ ∂A .
Очевидно, что
A — замкнуто ⇐⇒ A = A .

Страницы