Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 44 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
3.2.2. Объем цилиндрического тела
Теорема 3.2. Пусть D — брус в R
n
и f — неотрицательная функция D → R. Пусть
O
f
— подграфик функции f, т.е.
O
f
= {Q ∈ R
n+1
: Q = (P, u) , P ∈ D , 0 6 u 6 f(P )}.
Тогда
O
f
— жорданово множество в R
n+1
⇐⇒ f — интегрируема на D ,
при этом
V (O
f
) =
Z
D
f .
Доказательство. Предположим, что f — интегрируема и пусть E — множество ее точек
разрыва. Пусть M = sup
P ∈D
|f(P )| и A
1
, A
2
, . . . — брусы такие, что
E ⊂
∞
[
k=1
◦
A
k
,
∞
X
k=1
V (A
k
) <
ε
2M
.
Тогда брусы B
k
= A
k
× [0, M] , k = 1, 2, . . . покрывают часть графика функции f, где f
— разрывна и
∞
X
k=1
V (B
k
) =
∞
X
k=1
V (A
k
) · M 6
ε
2
(подчеркнем, что здесь в левой части равенства суммируются (n + 1)-мерные объемы, а
справа — n-мерные).
Отметим, далее, что множество F = D r
∞
[
k=1
◦
A
k
— замкнутое и, следовательно, ком-
пактное, причем на нем функция f непрерывна и, следовательно, — равномерно непре-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 42
- 43
- 44
- 45
- 46
- …
- следующая ›
- последняя »
