Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 45 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
рывна. Пусть число δ > 0 характеризуется условием:
|P
1
P
2
| < δ ⇒ |f(P
2
) −f(P
1
)| <
ε
2V (D)
.
Пусть ранг разбиения λ бруса D сделан меньше δ. Если через S обозначить произвольную
ячейку разбиения λ, то брусы S × [m
S
(f), M
S
(f)] будут покрывать оставшуюся часть
графика функции f, при этом
X
по S из λ
V (S × [m
S
(f), M
S
(f)]) 6
X
по S из λ
V (S) ·
ε
2V (D)
=
ε
2
.
Таким образом, верхняя часть границы подграфика функции f оказывается покрыта
системой брусов, суммарный объем которых не превосходит произвольно взятого положи-
тельного ε, т.е. имеет меру-ноль. С учетом того элементарного факта, что гиперплоские
грани подграфика O
f
имеют (n + 1)-мерный объем-ноль, получаем, что граница под-
графика O
f
имеет меру ноль, т.е. характеристическая функция χ
O
f
— интегрируема, а
подграфик O
f
— является жордановым множеством.
Предположим, теперь, O
f
— измеримо по Жордану. Тогда по теореме Фубини
V (O
f
) =
Z
D×[0,M ]
χ
O
f
=
Z
D
dP
M
Z
0
χ
O
f
(P, u) du =
Z
D
f(P ) dP =
Z
D
f .
Следствие 3.3. Пусть D — жорданово множество в R
n
и f — неотрицательная
функция D → R. Пусть O
f
— по дграфик функции f . Тогда
O
f
— жорданово множество в R
n+1
⇐⇒ f — интегрируема на D ,
при этом
V (O
f
) =
Z
D
f .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 43
- 44
- 45
- 46
- 47
- …
- следующая ›
- последняя »
