Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 47 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Действительно, пусть в точке (x
0
, y
0
) выполнено неравенство
∂
2
f
∂x∂y
−
∂
2
f
∂y∂x
> 0 .
Тогда в силу непрерывности это неравенство выполнено в некотором прямоугольнике
[a, b] ×[c, d] (с центром в точке (x
0
, y
0
)). По теореме Фубини находим
0 <
ZZ
[a,b]×[c,d]
∂
2
f
∂x∂y
−
∂
2
f
∂y∂x
dxdy =
d
Z
c
dy
b
Z
a
∂
2
f
∂x∂y
dx −
b
Z
a
dx
d
Z
c
∂
2
f
∂y∂x
dy
=
d
Z
c
∂[f(b, y) − f (a, y)]
∂y
dy −
b
Z
a
∂[f(x, d) − f(x, c)]
∂x
dx
= f(b, d) − f(a, d) − [f(b, c) − f(a, c)] − {f(b, d) − f(b, c) − [f(a, d) − f (a, c)]} = 0 .
Полученное противоречие доказывает равенство производных.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 45
- 46
- 47
- 48
- 49
- …
- следующая ›
- последняя »
