Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 49 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
последовательности и произвольная окрестность точки P содержит все множества данной
последовательности начиная с некоторого номера:
1. ∀k : P ∈ A
k
,
2. ∀r > 0 ∃K : k > K ⇒ A
k
⊂ B
r
(P ) ,
где B
r
(P ) — шар радиуса r с центром в точке P .
Определение 4.3. Пусть Φ — аддитивная функция множества. Если существует предел
последовательности
Φ(A
k
)
V (A
k
)
при условии, что последовательность A
k
стягивается к точке
P , и если этот предел не зависит от выбора стягивающейся последовательности, его
называют плотностью аддитивной функции в точке P .
Заметим, что плотность аддитивной функции (если она существует), является уже
функцией точки. Для выражения того факта, что функция ϕ является плотностью функ-
ции Φ, естественно использовать запись
ϕ(P ) = lim
A→P
Φ(A)
V (A)
.
Теорема 4.4. Пусть f — непрерывная функция и Φ(A) =
R
A
f. Тогда функция Φ имеет
плотность и эта плотность совпадает с функцией f.
Доказательство. В силу монотонности интеграла
m
A
(f)V (A) 6 Φ(A) =
Z
A
f 6 M
A
(f)V (A) .
В силу непрерывности функции f
A → P ⇒ m
A
(f) → f(P ) и M
A
(f) → f(P )
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 47
- 48
- 49
- 50
- 51
- …
- следующая ›
- последняя »
