Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 51 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Просуммируем неравенства
|Φ(A
i
)| 6 γV (A
i
) .
В силу свойств аддитивности
|Φ(A)| =
m
X
i=1
Φ(A
i
)
6
m
X
i=1
|Φ(A
i
)| 6 γ
m
X
i=1
V (A
i
) = γV (A) .
Лемма 4.8. Если плотность аддитивной функции существует и равна тождествен-
но нулю, то сама аддитивная функция также равна нулю тождественно.
Доказательство. Предположим, для определенности, что Φ(A) > 0. Положим γ =
Φ(A)
V (A)
и A
1
= A. Разобьем множество A на подмножества с непересекающимися внутренно-
стями: A =
m
[
i=1
B
i
. В силу предыдущей леммы найдется подмножество B
j
такое, что
Φ(B
j
)
V (B
j
)
> γ. Положим A
2
= B
j
и проведем разбиение множества A
2
, повторяя процедуру
отбора ячейки, на которой среднее значение аддитивной функции не меньше γ. Повторяя
эту процедуру неограниченное число раз получим последовательность множеств
A
1
⊃ A
2
⊃ . . .
Процесс дробления всегда можно подчинить условию: diam A
n
→ 0. Заметим, что по
свойству компактных множеств (см. теорему A.8)
∞
\
k=1
A
k
6= ∅. В нашем случае, очевидно,
получим
∞
\
k=1
A
k
= {P }. Это можно увидеть и непосредственно: достаточно выбрать
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 49
- 50
- 51
- 52
- 53
- …
- следующая ›
- последняя »
