Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 52 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
P
k
∈ A
k
, заметить, что P
k
— последовательность Коши и, как следствие, существует
предел P = lim P
k
. Предельная точка P принадлежит каждому из множеств A
k
ввиду их
замкнутости, а следовательно — принадлежит и их пересечению.
Таким образом, построена последовательность множеств A
k
, стягивающаяся к точке
P , и тогда
ϕ(P ) = lim
Φ(A
k
)
V (A
k
)
> γ > 0 ,
противоречие.
Теорема 4.9. Если аддитивная функция Φ имеет непрерывную плотность ϕ, то
Φ(A) =
Z
A
ϕ .
Доказательство. Положим
Ψ(A) =
Z
A
ϕ .
Тогда аддитивная функция Φ −Ψ имеет плотность, равную ϕ −ϕ = 0. Откуда по преды-
дущей лемме Φ − Ψ = 0.
Замечание 4.10. В дальнейшем нам понадобится некоторая модификация полученного
результата. Заметим, что в определении плотности функции мы могли бы ограничиться
последовательностями стягивающихся множеств определенного типа, например, последо-
вательностями стягивающихся кубов. Разумеется, это привело бы нас к расширенному
понятию плотности. При таком толковании плотности доказательство леммы 4.8 со-
хранит свою силу только в отношении выбранного типа стягивающихся множеств (т.е.
кубов) и, как следствие, теорема 4.9 также будет иметь силу только в отношении данного
типа множеств (т.е. если A — куб).

Страницы