Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 50 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
(т.е. если множество [последовательность множеств] A стягивается к точке P , то вели-
чины m
A
(f) и M
A
(f) стремятся к значению функции f в точке P ). Отсюда (по теореме
о сжатой переменной)
Φ(A)
V (A)
→
A→P
f(P ) .
Мы увидим ниже, что иных аддитивных функций, имеющих непрерывную плотность,
кроме как интегралов от непрерывных функций — не существует.
3
Лемма 4.5. Аддитивные функции образуют векторное пространство. При этом,
если функции Φ
1
и Φ
2
имеют плотности, соответственно, ϕ
1
и ϕ
2
, то функция
α
1
Φ
1
+ α
2
Φ
2
тоже имеет плотность и эта плотность равна α
1
ϕ
1
+ α
2
ϕ
2
.
Доказательство. Первое утверждение очевидно. Второе — немедленное следствие ли-
нейности операции предельного перехода.
Определение 4.6. Средним значением аддитивной функции Φ на множестве A ненуле-
вого объема называется отношение
Φ(A)
V (A)
.
Лемма 4.7. Если
◦
A
i
∩
◦
A
j
= ∅ при i 6= j и A =
m
[
i=1
A
i
, то
Φ(A
i
)
V (A
i
)
6 γ (i = 1, . . . m) ⇒
Φ(A)
V (A)
6 γ
(т.е. среднее значение аддитивной функции на множестве A не может превышать
по абсолютной величине наибольшего среднего значения на ячейках разбиения мно-
жества A).
3
напомним о принятых нами выше ограничениях, наложенных на рассматриваемый класс аддитивных функ-
ций
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 48
- 49
- 50
- 51
- 52
- …
- следующая ›
- последняя »
