Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 53 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
4.2. Коэффициент искажения объема
Рассмотрим непрерывное взаимно однозначное отображение θ : R
n
→ R
n
. Заметим, что
при этом
◦
A
1
∩
◦
A
2
= ∅ ⇒ Int θ(A
1
) ∩Int θ(A
2
) = ∅ .
Мы будем предполагать, также, что оно обладает свойством жордановости:
A — жорданово: V (A) > 0 ⇒ θ(A) — жорданово: V (θ(A)) > 0 .
Рассмотрим функцию W (A) = V (θ(A)). Эта функция является аддитивной:
W (A
1
∪A
2
) = V (θ(A
1
∪A
2
)) = V (θ(A
1
)∪θ(A
2
)) = V (θ(A
1
))+V (θ(A
2
)) = W (A
1
)+W (A
2
) .
Эта же выкладка доказывает усиленную аддитивность функции W ввиду жордановости
отображения θ и усиленной аддитивности объема V .
Пусть функция W имеет плотность
w(P ) = lim
A→P
W (A)
V (A)
= lim
A→P
V (θ(A))
V (A)
.
Эта плотность называется коэффициентом искажения объема при отображении θ.
Теорема 4.11. Пусть f — непрерывная функция, определенная на множестве значений
функции θ. Пусть коэффициент искажения объема при отображении θ определен и
является непрерывной функцией w = w(P ). Тогда
Z
θ(A)
f =
Z
A
f ◦θ · w ,
где A — произвольное жорданово множество.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 51
- 52
- 53
- 54
- 55
- …
- следующая ›
- последняя »
