Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 46 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 46 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Достаточно заключить D в брус, продолжить функцию f и применить
предыдущую теорему к функции fχ
D
.
3.2.3. Принцип Кавальери
Пусть A и B — жордановы множества в R
3
. Предположим, что сечения этих множеств
на высоте z
A
z
= {(x, y) : (x, y, z) ∈ A} иB
z
= {(x, y) : (x, y, z) ∈ B}
имеют одинаковую площадь при каждом z:
∀z : S(A
z
) = S(B
z
) .
Тогда объемы тел A и B — равны.
Для доказательства заключим тело A в брус D и воспользуемся теоремой Фубини:
V (A) =
Z
D
χ
A
=
Z
dz
Z
χ
A
(x, y, z) dxdy =
Z
dz
Z
χ
A
z
(x, y) dxdy =
Z
dz S(A
z
)
(здесь мы используем стандартное соглашение не выписывать пределы интегрирования в
определенном интеграле, если они определяются естественным заданием интегрируемой
функции).
3.2.4. Равенство непрерывных смешанных производных
Теорема Фубини позволяет получить простое доказательство равенства
∂
2
f
∂x∂y
=
∂
2
f
∂y∂x
,
при условии, что эти производные непрерывны.

Страницы