Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 68 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 68 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
И тогда
kθ(x) −θ(x
0
)k = max
16i6n
|y
i
(x) −y
i
(x
0
)| 6 max
16i6n
ky
0
i
(u
i
)k·kx −x
0
k 6 max
u∈[x
0
,x]
kθ
0
u
k·kx −x
0
k.
5.3.2. Лемма о трех концентрических кубах
Лемма 5.6. Пусть θ — непрерывно дифференцируемое отображение R
n
→ R
n
такое,
что θ(0) = 0 и θ
0
0
= I (I — тождественное отображение). Пусть, далее, C
r
— куб в
R
n
с центром в нуле и ребром 2r такой, что
x ∈ C
r
⇒ kθ
0
x
− Ik 6 ε < 1 .
Тогда
C
(1−ε)r
⊂ θ(C
r
) ⊂ C
(1+ε)r
.
Доказательство. Применим теорему Лагранжа 5.5 к отображению θ − I имея в виду,
что
(θ − I)
0
= θ
0
− I
0
= θ
0
− I
и x ∈ C
r
. Тогда
kθ(x) −xk = kθ(x) − I(x) − (θ(0) − I(0))k 6 max
z∈[0,x]
kθ
0
z
− Ik · kx − 0k 6 εkxk,
откуда
kθ(x)k 6 (1 + ε)kxk 6 (1 + ε)r ,
т.е.
x ∈ C
r
⇒ θ(x) ∈ C
(1+ε)r
или, что то же самое, θ(C
r
) ⊂ C
(1+ε)r
.

Страницы