Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 69 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Пусть, теперь, x, v ∈ C
r
. Тогда аналогично с предыдущим
kθ(x) −θ(v) −(x −v)k 6 max
u∈[x,v]
kθ
0
u
− Ik · kx − vk 6 εkx − v k,
откуда
kx −vk = kθ(x) −θ(v)−(θ(x)−θ(v) −(x −v))k 6 kθ(x) −θ(v)k+kθ(x)−θ(v) −(x −v)k
6 kθ(x) − θ(v)k + εkx − vk
и, следовательно,
(1 − ε)kx − vk 6 kθ(x) − θ(v)k.
Это означает, что отображение θ обратимо в C
r
.
Фиксируем, теперь, произвольно y ∈ C
(1−ε)r
. Для точек x ∈ C
r
определим функцию
ϕ(x) = x −θ(x) + y .
При этом
kϕ(x)k 6 kx −θ(x)k + kyk 6 εkxk+ kyk 6 εr + (1 − ε)r = r ,
т.е. ϕ(x) ∈ C
r
и, следовательно, ϕ : C
r
→ C
r
. Заметим, далее, что
kϕ(x) − ϕ(v)k = kx − v − (θ(x) − θ(v))k 6 εkx − vk.
Это означает, что отображение ϕ является в C
r
сжимающим (ε < 1). По теореме B.2
отображение ϕ имеет неподвижную точку:
∃z ∈ C
r
: ϕ(z) = z .
Но это означает, что z − θ(z) + y = z, т.е. y = θ(z) или, что то же самое (ввиду
произвольности y ): C
(1−ε)r
⊂ θ(C
r
).
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 67
- 68
- 69
- 70
- 71
- …
- следующая ›
- последняя »
