Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 71 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Прежде чем сформулировать важное следствие из леммы о трех концентрических
кубах, отметим следующее.
Теорема 5.7. Пусть D — жорданово множество и θ — непрерывно дифференцируе-
мое отображение, определенное в окрестности D. Тогда θ(D) является жордановым
множеством.
Доказательство. Заметим, что V (∂D) = 0. Пусть кубы A
1
, . . . A
k
покрывают ∂D и
k
X
i=1
V (A
i
) 6 ε .
В силу непрерывной дифференцируемости kθ(x) − θ(v)k 6 Ckx − vk. Считая, что u —
центр куба A
i
, отсюда заключаем, что θ(A
i
) содержится в кубе B
i
(с центром в θ(u))
объема V (B
i
) = C
n
V (A
i
). Кубы B
1
, . . . B
k
покрывают ∂θ(D) и
k
X
i=1
V (B
i
) 6 C
n
ε .
Ввиду произвольности ε > 0 это означает, что ∂θ(D) имеет объем-ноль.
Следствие 5.8. Пусть θ — непрерывно дифференцируемое отображение R
n
→ R
n
.
Пусть a — центр куба D, причем
x ∈ D ⇒ k(θ
0
a
)
−1
θ
0
x
− Ik 6 ε < 1 .
Тогда
(1 −ε)
n
· |det θ
0
a
| · V (D) 6 V (θ(D)) 6 (1 + ε)
n
· |det θ
0
a
| · V (D) .
Доказательство. Без ограничения общности можем считать, что a = 0 и θ(0) = 0.
Тогда D = C
r
— куб радиуса r с центром в нуле. Заметим, что отображение ϕ = (θ
0
0
)
−1
θ
удовлетворяет условиям леммы. Действительно, ϕ
0
= (θ
0
0
)
−1
θ
0
(где мы воспользовались
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 69
- 70
- 71
- 72
- 73
- …
- следующая ›
- последняя »
