Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 72 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
цепным правилом и тем, что производная от линейного отображения равна самому отоб-
ражению) и тогда
x ∈ C
r
⇒ kϕ
0
x
− Ik 6 ε < 1 .
В силу заключения леммы
C
(1−ε)r
⊂ ϕ(C
r
) ⊂ C
(1+ε)r
.
Под действием линейного отображения θ
0
0
получаем
θ
0
0
C
(1−ε)r
⊂ θ(C
r
) ⊂ θ
0
0
C
(1+ε)r
.
Но V
θ
0
0
C
cr
= |det θ
0
0
| ·V (C
cr
) = |det θ
0
0
| · c
n
V (C
r
) и, следовательно,
(1 − ε)
n
· |det θ
0
0
| · V (C
r
) 6 V (θ(C
r
)) 6 (1 + ε)
n
· |det θ
0
0
| · V (C
r
) .
5.3.3. Замена переменных в кратном интеграле
Теорема 5.9. Пусть θ — непрерывно дифференцируемо на окрестности бруса D,
обратимо на этой окрестности, причем det θ
0
x
6= 0. Тогда
Z
θ(D)
f =
Z
D
f ◦ θ ·|det θ
0
|,
где f — произвольная интегрируемая функция на θ(D).
Доказательство. 1) θ
0
x
— непрерывная функция от x на компактном множестве (брусе),
а потому — равномерно непрерывна. Положим M = max
x∈D
k(θ
0
x
)
−1
k. В силу det θ
0
x
6= 0
заключаем, что M < ∞. Пусть δ > 0 таково, что
kx − vk 6 δ ⇒ kθ
0
x
− θ
0
v
k <
ε
M
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
