Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 73 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 73 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Пусть A — куб с центром в точке a и ребром длины 2r, т.е.
A = {x : kx −ak 6 r} ⊂ D .
Будем считать, что r < δ. Тогда
k(θ
0
a
)
−1
θ
0
x
− Ik = k(θ
0
a
)
−1
(θ
0
x
− θ
0
a
)k 6 k(θ
0
a
)
−1
k · kθ
0
x
− θ
0
a
k 6 M ·
ε
M
= ε .
В силу следствия 5.8
(1 − ε)
n
· |det θ
0
a
| · V (A) 6 V (θ(A)) 6 (1 + ε)
n
· |det θ
0
a
| · V (A) ,
и следовательно,
(1 − ε)
n
· |det θ
0
a
| 6
V (θ(A))
V (A)
6 (1 + ε)
n
· |det θ
0
a
|.
Пусть куб A стягивается к точке b. Тогда a → b и |det θ
0
a
| → |det θ
0
b
|. Рассмотрим
отношение
V (θ(A))
V (A)
при A → b. Мы не знаем, пока, существует ли предел этого отношения. Воспользуемся
понятиями верхнего и нижнего пределов, т.е. наибольшего и наименьшего из возможных
пределов подпоследовательностей. Тогда
(1 − ε)
n
· |det θ
0
b
| 6 lim
V (θ(A))
V (A)
6 lim
V (θ(A))
V (A)
6 (1 + ε)
n
· |det θ
0
b
|.
В силу произвольности ε > 0 заключаем, что предел существует (верхний и нижний
пределы совпадают) и равен |det θ
0
b
|:
lim
A→b
V (θ(A))
V (A)
= |det θ
0
b
|.

Страницы