Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 74 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 74 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
По теореме 4.11
Z
θ(A)
f =
Z
A
f ◦θ · |det θ
0
|,
где A — куб и f — произвольная непрерывная функция на θ(A).
2) Пусть B — брус, B ⊂ D. Пусть ρ — линейное отображение такое, что B = ρ(A),
где A — куб. Тогда в силу заключения предыдущего пункта
V (θ(B)) = V (θ◦ρ(A)) =
Z
θ◦ρ(A)
1 =
Z
A
|det(θ◦ρ)
0
| =
Z
A
|det θ
0
◦ρ|·|det ρ
0
| =
Z
ρ(A)
|det θ
0
| =
Z
B
|det θ
0
|
(функция |det θ
0
| — непрерывна). Как следствие,
Z
θ(B)
f =
Z
B
f ◦θ · |det θ
0
|,
где B — брус и f — произвольная непрерывная функция на θ(B).
3) Положим ψ = θ
−1
. Пусть теперь B — брус на образе функции θ. Воспользуемся
заключением предыдущего пункта применительно к функции ψ. Тогда
Z
B
1 =
Z
B
|det(θ ◦ ψ)
0
| =
Z
B
|det(θ
0
◦ ψ)| ·|det ψ
0
| =
Z
ψ( B)
|det θ
0
| =
Z
θ
−1
(B)
|det θ
0
|
(функция |det θ
0
| — непрерывна).
4) Пусть f — интегрируема на брусе B. Пусть λ — разбиение бруса B. Тогда
σ
∗
(f, λ) =
X
по A из λ
m
A
(f)V (A) =
X
по A из λ
m
A
(f)
Z
A
1 =
X
по A из λ
m
A
(f)
Z
θ
−1
(A)
|det θ
0
|
6
X
по A из λ
Z
θ
−1
(A)
f ◦θ · |det θ
0
| =
Z
θ
−1
(B)
f ◦θ · |det θ
0
|,

Страницы