Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 67 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
номерных линейных отображения, то
kθ
1
θ
2
k 6 kθ
1
k ·kθ
2
k.
Доказательство этого свойства элементарно:
kθ
1
θ
2
(x)k 6 kθ
1
k · kθ
2
(x)k 6 kθ
1
k · kθ
2
k · kxk.
Теперь мы можем напомнить формулировку следующей важной теоремы дифферен-
циального исчисления функций нескольких переменных.
Теорема 5.5 (Лагранж: о конечных приращениях). Если θ — непрерывно дифферен-
цируемой отображение в окрестности отрезка прямой [x
0
, x], соединяющей точки
x
0
, x ∈ R
n
, то
kθ(x) − θ(x
0
)k 6 max
u∈[x
0
,x]
kθ
0
u
k · kx − x
0
k.
Доказательство. Пусть y = θ(x) и y = (y
1
, . . . y
n
). Из формулы Лагранжа для одномер-
ного случая
f(b) − f(a) = f
0
(c)(b − a)
вытекает, что
y
i
(x) − y
i
(x
0
) = y
0
i
(u
i
)(x − x
0
) =
n
X
j=1
∂y
i
(u
i
)
∂x
j
· (x
j
− x
0j
) ,
где u
i
∈ [x
0
, x] (достаточно применить формулу Лагранжа к функции f(t) = y
i
((1−t)x
0
+
tx) на отрезке [0,1]). Тогда
|y
i
(x) − y
i
(x
0
)| 6 ky
0
i
(u
i
)k · kx − x
0
k,
где
ky
0
i
(u)k =
n
X
j=1
∂y
i
· (u)
∂x
j
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 65
- 66
- 67
- 68
- 69
- …
- следующая ›
- последняя »
