Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 65 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
нам будет удобнее использовать эквивалентную норму
kxk = max{|x
1
|, . . . |x
n
|} = max
16i6n
|x
i
|. (5.1)
Эта величина наделена всеми свойствами, которыми должна обладать «длина» вектора:
1. kxk > 0 ,
2. kx + yk 6 kxk + kyk,
3. kaxk = |a|kxk (a ∈ R) ,
4. kxk = 0 ⇐⇒ x = 0 .
Эквивалентность ее евклидовой норме вытекает из неравенства
kxk 6 |x| 6
√
nkxk,
что означает, что если длина вектора мала в одном смысле, то она мала и в другом смысле
и наоборот. Выбор нормы (5.1) диктуется следующими соображениями. Если неравенство
|x| < r определяет шар с центром в нуле радиуса r, то неравенство kxk < r (так сказать,
шар в смысле нормы k • k) определяет куб (брус) с центром в нуле и ребром длины 2r.
Нам понадобится также, далее, понятие нормы линейного отображения. Конечно-
мерные линейные отображения являются ограниченными, т.е. для данного линейного
отображения θ
∃C : kθ(x)k 6 Ckxk (∀x) .
Это легко увидеть, если воспользоваться матричным представлением отображения θ.
Наилучшая из возможных констант C и называется нормой линейного отображения θ:
kθk = inf{C : kθ(x)k 6 Ckxk},
при этом
kθ(x)k 6 kθk · kxk.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 63
- 64
- 65
- 66
- 67
- …
- следующая ›
- последняя »
