Составители:
Рубрика:
Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 63 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
(здесь мы воспользовались доказанной выше неизменностью объема при данном элемен-
тарном преобразовании бруса). В силу произвольности ε отсюда заключаем, см. след-
ствие 2.15, что θ(D) — жорданово и V (θ(D)) = V (D). Утверждение леммы теперь
вытекает из равенства det θ = 1.
Теорема 5.4. Для произвольной жордановой области D и произвольного линейного
отображения θ множество θ(D) является жордановым и его объем равен
V (θ(D)) = |det θ| ·V (D) .
Доказательство. Достаточно представить линейное отображение θ как произведение
элементарных и применить леммы 5.2 и 5.3 и теорему об умножении определителей.
Доказанная теорема говорит о том, что при линейном отображении коэффициент
искажения объема равен абсолютной величине определителя данного линейного отоб-
ражения. Например, при отображении x 7→ rx, определитель которого равен r
n
(где n
— размерность пространства), единичный шар B
1
с центром в нуле станет шаром B
r
радиуса r:
x = (x
1
, . . . x
n
) ∈ B
r
⇐⇒
n
X
i=1
x
2
i
6 r
2
.
Тогда
V (B
r
) = r
n
V (B
1
) .
5.3. Коэффициент искажения объема при непрерывно дифферен-
цируемом отображении
5.3.1. Экскурс в дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Напомним, что отображение θ : R
n
→ R
n
называется дифференцируемым в точке x
0
,
если существует линейное отображение θ
0
x
0
: R
n
→ R
n
такое, что
θ(x) − θ(x
0
) = θ
0
x
0
(x − x
0
) + o(|x − x
0
|)
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 61
- 62
- 63
- 64
- 65
- …
- следующая ›
- последняя »
