Лекции по математике (III курс). Будылин А.М. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Кратные интегралы
Интегралы на многообразиях
Приложения
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 81 из 245
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
где r > 0 , θ
i
∈ [0, π] и ϕ ∈ [0, 2π). Координаты r, θ
1
, . . . θ
n−2
, ϕ называются сферическими
(или полярными). При этом
|det Θ
0
| =
|
cos θ
1
−r sin θ
1
0 . . . 0
sin θ
1
cos θ
2
r cos θ
1
cos θ
2
−r sin θ
1
sin θ
2
. . . 0
.
.
.
.
.
.
.
.
. . . . 0
sin θ
1
· . . . ·cos ϕ r cos θ
1
· . . . · cos ϕ r sin θ
1
cos θ
2
· . . . · cos ϕ . . . −r sin θ
1
· . . . · sin ϕ
sin θ
1
· . . . · sin ϕ r cos θ
1
· . . . · sin ϕ r sin θ
1
cos θ
2
· . . . · sin ϕ . . . r sin θ
1
· . . . · cos ϕ
|
= r
n−1
sin
n−2
θ
1
sin
n−3
θ
2
· . . . · sin θ
n−2
.
Этот результат элементарен: если вынести из второго, третьего и т.д. столбцов множи-
тели r, r sin θ
1
и т.д., равные длинам этих векторов–столбцов, останется определитель
ортогональной матрицы (согласно определению этих координат). Тогда
Z
Θ(D)
f(x
1
, . . . x
n
) dx
1
. . . dx
n
=
Z
D
f ◦ Θ(r, θ
1
, . . . ϕ) r
n−1
sin
n−2
θ
1
·. . . ·sin θ
n−2
drdθ
1
. . . dϕ .
Например, объем единичного шара B
1
будет равен
V (B
1
) =
1
Z
0
r
n−1
dr
Z
S
1
dσ =
1
n
Z
S
1
dσ ,
где через
R
S
1
dσ мы обозначили интеграл по углам:
Z
S
1
dσ = 2π
n−2
Y
k=1
π
Z
0
sin
k
θ dθ .

Страницы