Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 101 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 101 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Отсюда, согласно теореме об интегрировании несобственного интеграла по парамет-
ру, свертка также является абсолютно интегрируемой функцией:
+∞
Z
−∞
dx
+∞
Z
−∞
f(t)g(x −t) dt
6
+∞
Z
−∞
dx
+∞
Z
−∞
|f(t)g(x − t)|dt
=
+∞
Z
−∞
dt |f(t)|
+∞
Z
−∞
|g(x − t)|dx =
+∞
Z
−∞
|f(t)|dt
+∞
Z
−∞
|g(s)|ds .
Тогда опять с использованием теоремы об интегрировании несобственного интеграла
по параметру находим
1
√
2π
+∞
Z
−∞
dx e
−iξx
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f(t)g(x − t) dt
=
1
√
2π
+∞
Z
−∞
dt e
−iξt
f(t)
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
−iξ(x−t)
g(x − t) dx
=
1
√
2π
+∞
Z
−∞
dt e
−iξt
f(t)
1
√
2π
+∞
Z
−∞
e
−iξu
g(u) du .
Замечание 6.4. В действительности, в условиях последней теоремы можно показать,
что
f ∗ g = F
∗
(
b
f · bg) ,
причем произведение
b
f · bg является абсолютно интегрируемой функцией, откуда,
в частности, вытекает непрерывность и убывание на бесконечности свертки f ∗ g

Страницы