Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 99 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Теорема 6.1. Пусть функции f и g — непрерывны и абсолютно интегрируемы на
вещественной оси:
+∞
Z
−∞
|f(x)|dx < +∞,
+∞
Z
−∞
|g(x)|dx < +∞.
Тогда
(F f) ∗g = F (f · F
∗
g) ,
или что то же
b
f ∗g =
d
f ·eg , eg = F
∗
g .
Доказательство. Существование свертки очевидно ввиду ограниченности функции
b
f. Формула вытекает из преобразований
1
√
2π
+∞
Z
−∞
b
f(ξ − η)g(η) dη =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
dη g(η)
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f(x)e
−ix(ξ−η)
dx
=
1
√
2π
+∞
Z
−∞
dx f(x)e
−ixξ
1
√
2π
+∞
Z
−∞
g(η)e
ixη
dη =
1
√
2π
+∞
Z
−∞
f(x)eg(x)e
−ixξ
dx
Следствие 6.2. В предположениях предыдущей теоремы верна также формула
(F
∗
f) ∗ g = F
∗
(f · Fg)
Доказательство. Заметим, что
+∞
Z
−∞
f(t)g(−x − t) dt =
+∞
Z
−∞
f(−u)g(−x + u) du ,
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 97
- 98
- 99
- 100
- 101
- …
- следующая ›
- последняя »
