Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 11 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
• ряды
∞
X
n=1
|c
n
| и
∞
X
n=1
|c
−n
| сходятся.
Тогда тригонометрический ряд сходится равномерно на R к непрерывной пери-
одической с периодом 2π функции f, причем
c
n
=
1
2π
2π
Z
0
f(x)e
−inx
dx , n ∈ Z ,
a
n
=
1
π
2π
Z
0
f(x) cos nx dx , n ∈ N ,
b
n
=
1
π
2π
Z
0
f(x) sin nx dx , n ∈ N .
Доказательство. Эквивалентность условий теоремы следует из неравенств
|a
n
| 6 |c
n
| + |c
−n
|, |b
n
| 6 |c
n
| + |c
−n
|,
|c
n
| 6
|a
n
| + |b
n
|
2
, |c
−n
| 6
|a
n
| + |b
n
|
2
.
Далее, в силу
|c
n
e
inx
+ c
−n
e
−inx
| 6 |c
n
| + |c
−n
|,
тригонометрический ряд имеет мажорантный сходящийся ряд
X
n>1
(|c
n
| + |c
−n
|), не
зависящий от x. В силу признака Вейерштрасса, тригонометрический ряд сходится
равномерно на R. Поскольку члены тригонометрического ряда являются непрерыв-
ными периодическими функциями с периодом 2π, таковой будет и сумма ряда (в

Страницы