Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 111 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
7.2. Распространение тепла в бесконечном стержне
Рассмотрим задачу о распространении тепла в бесконечном стержне, если задана
начальная температура u(x, 0) = ϕ(x). Эту задачу принято называть задачей Коши
для уравнения теплопроводности
∂u
∂t
= a
2
∂
2
u
∂x
2
, x ∈ R, t ∈ [0, +∞) ,
u(x, 0) = ϕ(x) , x ∈ R .
Фиксируя t, подвергнем функцию u(x, t) преобразованию Фурье:
U(ξ, t) = (F u)(ξ, t) .
Тогда рассматриваемая задача Коши будет иметь следующий образ Фурье:
∂U
∂t
= −a
2
ξ
2
U, ξ ∈ R, t ∈ [0, +∞) ,
U(ξ, 0) = Φ(ξ) , ξ ∈ R .
Здесь Φ = F ϕ. Фиксируя ξ, решим полученное дифференциальное уравнение:
U(ξ, t) = Φ(ξ)e
−a
2
ξ
2
t
.
Решение исходной задачи находится по формуле
u(x, t) = (F
−1
U)(x, t) .
Здесь полезно воспользоваться теоремой о свертке в форме 6.2:
F
∗
[e
−a
2
ξ
2
t
] ∗ϕ = F
∗
(e
−a
2
ξ
2
t
· Fϕ) .
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 109
- 110
- 111
- 112
- 113
- …
- следующая ›
- последняя »
