Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 112 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 112 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Заметим, что в силу четности (по ξ) и теоремы подобия (роль множителя играет
a
√
t)
F
∗
[e
−a
2
ξ
2
t
] = F [e
−a
2
ξ
2
t
] =
1
a
√
2t
e
−
x
2
4a
2
t
.
(Здесь также поменялись ролями переменные x и ξ). Тогда
u(x, t) =
1
2a
√
πt
+∞
Z
−∞
ϕ(y)e
−
(x−y)
2
4a
2
t
dy .
Отметим, что в отличие от волнового уравнения, параметр a не играет роль
скорости распространения тепла. Как видно из полученного решения, скорость рас-
пространения тепла бесконечна (с точки зрения данной модели): в любой сколь
угодно малый момент времени t > 0 изменение температуры u(x, t) происходит на
всем протяжении бесконечного стержня (для всех x)!
7.3. Частотный спектр
В связи с предельным переходом, описанным в параграфе 5.1, полезно познакомиться
с понятием частотного спектра.
Пусть f — вещественная периодическая функция с периодом 2l . Ее разложение
в ряд Фурье имеет вид
f(x) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
(a
n
cos ω
n
x + b
n
sin ω
n
x) ,
где
ω
n
=
πn
l
.
Величины ω
n
имеют смысл частот колебаний и называются гармониками, причем
гармоника ω
1
называется основной частотой, остальные гармоники ω
n
= nω
1
, крат-
ные основной, называются обертонами.

Страницы