Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 116 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 116 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
A. Дополнение. Сходимость в среднеквадратичном
Мы докажем в этом параграфе, что для произвольной кусочно непрерывной и квад-
ратично интегрируемой функции f интеграл
f
N
(x) =
+∞
Z
−∞
f(t)D
N
(x −t) dt =
1
π
+∞
Z
−∞
f(t)
sin N(x −t)
x − t
dt ,
называемый простым интегралом Фурье функции f, в среднеквадратичном схо-
дится к функции f, т.е.
kf − f
N
k →
N→∞
0 , kfk =
v
u
u
u
t
+∞
Z
−∞
|f(x)|
2
dx .
Если определить функцию
D
N
(x) =
√
2π D
N
(x) ,
то интеграл f
N
(x) можно записать как свертку
f
N
(x) = f ∗ D
N
(x) .
Введем срезающий оператор Γ
N
. Если f — произвольная функция на оси, то
Γ
N
f(x) =
(
g(x) , x ∈ [−N, N ] ,
0 , x /∈ [−N, N ] .
Тогда, если преобразование Фурье
b
f = F f функции f существует и как несоб-
ственный интеграл сходится равномерно, то простой интеграл Фурье запишется в
виде
f
N
= F
∗
Γ
N
F f .
Нам будут полезны следующие две леммы.

Страницы