Ряды и интегралы Фурье. Будылин А.М. - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 20 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
Доказательство. Положим c
k
= c
k
(a) , k = 1, . . . n и b =
n
X
k=1
c
k
e
k
. Вектор a − b
ортогонален векторам e
k
при 1 6 k 6 n. Тогда по теореме Пифагора
ka −
n
X
k=1
λ
k
e
k
k
2
= ka −b −
n
X
k=1
(λ
k
− c
k
)e
k
k
2
= ka − bk
2
+
n
X
k=1
|λ
k
− c
k
|
2
.
Наименьшее значение, очевидно, достигается, если λ
k
= c
k
, k = 1, . . . n:
min
λ
1
,...λ
n
ka −
n
X
k=1
λ
k
e
k
k
2
= kak
2
−
n
X
k=1
|c
k
|
2
, (2.8)
где мы воспользовались равенством
ka − bk
2
= kak
2
− kbk
2
= kak
2
−
n
X
k=1
|c
k
|
2
.
Но наименьшее значение величины ∆ и наименьшее значение величины ∆
2
дости-
гаются одновременно.
Геометрический смысл теоремы вполне прозрачен, см. рис. 1. Рассмотренную
задачу можно охарактеризовать как задачу об аппроксимации вектора a линейными
комбинациями фиксированной ортонормированной системы векторов e
1
, . . . e
n
:
a ≈
n
X
k=1
λ
k
e
k
.
Наилучшая (в смысле эрмитовой нормы) аппроксимация получается на коэффици-
ентах Фурье. Заметим, также, что расширение ортонормированной системы (т.е.
увеличение n) может привести только к улучшению аппроксимации (т.е. уменьше-
нию ∆):
∆(c
1
, . . . c
n
, c
n+1
) 6 ∆(c
1
, . . . c
n
, 0) = ∆(c
1
, . . . c
n
) . (2.9)

Страницы