Составители:
Рубрика:
Ряды Фурье
Интегралы Фурье
Предметный указатель
Литература
Веб – страница
Титульный лист
JJ II
J I
Страница 22 из 127
Назад
Полный экран
Закрыть
Выход
2.3. Ряды Фурье на пространстве непрерывных 2π−периодических
функций
Очевидно, пространство [комплекснозначных] непрерывных периодических с пери-
одом 2π функций является комплексным векторным пространством: такие функции
можно складывать и умножать на комплексные числа не выходя за рамки этого мно-
жества функций. Превратим это пространство в унитарное, введя в нем скалярное
произведение
hf|gi =
1
2π
2π
Z
0
f(x)g(x) dx . (2.10)
Свойства 1)–3) скалярного произведения очевидны. Четвертое свойство является
следствием непрерывности рассматриваемых функций. Действительно, если
kfk
2
=
1
2π
2π
Z
0
|f(x)|
2
dx = 0 ,
то f(x) ≡ 0 именно благодаря своей непрерывности.
6
Обозначим это унитарное пространство [комплекснозначных] непрерывных пе-
риодических с периодом 2π функций через C
2π
. Через e
n
, n ∈ Z, будем обозначать
функции x 7→ e
inx
. Покажем, что функции e
n
образуют ортонормированную систему
в C
2π
.
he
n
|e
m
i =
1
2π
2π
Z
0
e
inx
e
−imx
dx =
1
2π
2π
Z
0
e
i(n−m)x
dx = δ
nm
,
см. (1.2).
6
Для разрывных функций такого заключения сделать уже нельзя
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 20
- 21
- 22
- 23
- 24
- …
- следующая ›
- последняя »
